Ieri pi greco è apparso nel cielo della Bay Area sotto forma delle sue prime 1000 cifre, quasi come stampate da una vecchia dot matrix printer.
È una installazione effimera, nata nell’ambito del 2012 ZERO1 Biennial, un festival che celebra l’arte e la tecnologia nella Silicon Valley.
L’idea è di ISHKY, un eclettico artista californiano, creatore di installazioni di vasta scala, che ha riunito intorno a sé un gruppo di artisti, programmatori e scienziati.
I numeri vengono creati a circa 3000 metri di altezza da 5 aerei sincronizzati equipaggiati con una non ben identificata “dot matrix technology”, evidentemente un sistema che permette di disegnare delle lettere emettendo sbuffi di fumo, col un sistema analogo a quello di una stampante ad aghi. Ogni cifra è alta circa 400 metri (¼ di miglio).
The work is based on stochastic transformation of 8 basic textures.
horizontal parallel networks (chord)
ascendant parallel networks (glissandi)
descendant parallel networks (glissandi)
crossed parallel networks (ascendant and descendant)
clouds of pizzicati
atmosphere of frappes collegno with short glissandi col legno
configurations of glissandi traited in regulated left surfaces
geometric configurations of ascending and descending glissandi
Questo brano è basato su un precesso stocastico noto come catena di Markov. Si tratta di un sistema in cui il passaggio da uno stato a un altro dipende unicamente dalla situazione attuale ed è governato da una tabella che, dato lo stato corrente, specifica le probabilità di transizione da questo stato a un altro.
In termini più semplici, immaginate che, in questo momento, l’orchestra si trovi nello stato (e), cioè sta eseguendo una nuvola di pizzicati. La riga (e) della tabella specifica le probabilità che l’orchestra ha di passare a uno degli stati da (a) ad (h), compresa quella di rimanere nello stato (e).
Ovviamente la tabella è quadrata perché, per ogni possibile stato corrente, è presente una riga che definisce le probabilità di passaggio a tutti gli stati, compresa quella di rimanere nello stato attuale (in teoria fra gli stati possibili dovrebbe essere compreso anche il silenzio, ma, nella logica di Xenakis, di solito è invece gestito come densità di suoni).
Questo sistema organizzativo può essere applicato sia all’orchestra nel suo insieme che al singolo strumento.
Questo video è uno zoom di proporzioni epiche in quella zona dell’insieme di Mandelbrot chiamata The Seahorse Valley (la valle dei cavallucci marini) a causa delle codine, simili a quelle delle suddette bestiole, che si formano sulla frontiera dell’insieme.
Si tratta, in realtà di una installazione di Mario Mertz del 1997, il cui titolo è “Fibonacci Sequence 1-55” e il sottotitolo “Metafora della ricerca dell’uomo di ordine e armonia nel caos”.
Su YouTube si trovano anche altri video che permettono di seguire una partitura di ascolto insieme alla musica.
Eccone uno di Metastaseis (Metastasis), un brano per orchestra composto nel 1954 da Xenakis, in cui gli eventi sonori erano definiti quasi completamente su base statistica.
In effetti, il processo compositivo di Xenakis è strettamente collegato alla matematica. Per risolvere problemi quali la distribuzione dei suoni e delle figure, la densità, la durata, le note stesse, Xenakis utilizza molto spesso distribuzioni statistiche, il calcolo combinatorio, ma anche le leggi fisiche e la logica simbolica.
Il suo approccio è conseguente alla sua critica al serialismo integrale espressa nel suo scritto “La crise de la musique serielle”, che si può sintetizzare come segue:
L’applicazione della serie a tutti i parametri compositivi al fine di ottenere un controllo totale sulla composizione produce invece una incontrollabile complessità che “impedisce all’ascoltatore di seguire l’intreccio delle linee e ha come effetto macroscopico una dispersione non calcolata e imprevedibile dei suoni sull’intera estensione dello spettro sonoro”.
Ne consegue una evidente contraddizione fra l’intento compositivo che vorrebbe essere totalmente deterministico e l’effetto sonoro.
Dato che il serialismo permette di trasporre la serie su ognuna delle 12 note e permette anche di utilizzare l’inversione, il retrogrado e l’inversione del retrogrado con relative trasposizioni, allora esso non è che un caso particolare del calcolo combinatorio [cioè la branca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordinare secondo date regole gli elementi di un insieme finito di oggetti – da wikipedia].
Di conseguenza, il calcolo combinatorio costituisce una generalizzazione del metodo seriale e quindi un suo superamento.
Da queste due considerazioni e dalla preparazione di carattere fisico e matematico, oltre che musicale, di Xenakis nasce un approccio compositivo totalmente nuovo. Se la contraddizione del serialismo è dovuta alla sua complessità che genera una dispersione non calcolata dei suoni, si tratta dunque di trovare nuovi criteri di controllo. La linea deduttiva di Xenakis si può riassumere nei seguenti passi:
il serialismo integrale, adottando i meccanismi della trasposizione, inversione e retrogrado è approdato quasi spontaneamente al calcolo combinatorio
le scienze statistiche, di cui il calcolo combinatorio fa parte, hanno messo a punto strumenti matematici e concettuali capaci di studiare e definire fenomeni complessi
il calcolo delle probabilità, concettualmente e storicamente legato al calcolo combinatorio e sua potente generalizzazione, si presenta come lo strumento più idoneo per determinare l’effetto macroscopico generato da una polifonia lineare di alta complessità
la serie viene quindi sostituita con il concetto di insieme sonoro organizzato mediante distribuzioni statistiche che permettono di controllare le varie caratteristiche sonore quali altezze, densità, durate, timbro, etc.
il livello di controllo [quello su cui lavora il compositore] si innalza dal singolo suono all’insieme sonoro. L’aspetto microscopico della composizione può essere anche disordinato, ma a livello macroscopico si ha una chiara percezione di una figura sonora.
Chiariamo questi postulati (soprattutto il 5).
Se io faccio fare a 40 archi una lunga nota scelta a caso ma con distribuzione uniforme (tutte le note hanno la stessa probabilità) fra il DO3 e il DO4, la percezione sarà quella di un cluster cromatico di 8va.
Altro esempio: se n strumenti suonano note a caso con altezze distribuite in modo uniforme fra il DO3 e il FA3 e durate scelte nello stesso modo fra semicroma e croma, la percezione sarà quella di una fascia con movimento interno la cui velocità dipende dalla durata media e il cui timbro dipende dalla distribuzione strumentale.
Il compito del compositore non è più di scegliere le singole note, compito lasciato alla distribuzione statistica, ma quello di determinare la forma dell’insieme stabilendo quali distribuzioni statistiche governano i vari parametri sonori e i movimenti dell’insieme attraverso il controllo dei parametri delle suddette distribuzioni.
Notate che l’impostazione concettuale di Xenakis non è dissimile da quella di Stockhausen, quando crea il concetto di gruppo e sposta la sua attenzione dal singolo suono al gruppo ed è analoga a quella di Ligeti quando compone per fascie introducendo l’idea di micro-polifonia.
La posizione di Xenakis, determinata anche dalle sue conoscenze matematiche, è, però, estrema. Lui abbandona completamente il livello del singolo evento sonoro, per porsi a un livello più alto, quello degli insiemi di suoni. Se consideriamo che anche quello che il compositore strumentale definisce “suono singolo” è, in realtà, un agglomerato di suoni semplici (armonici e/o parziali sinusoidali), questa posizione è ampiamente giustificata. I possibili livelli di controllo dell’evento sonoro sono molti: dal “comporre il suono” dell’elettronica in sintesi additiva, fino all’organizzazione dell’evento privo di una precisa determinazione del risultato sonoro (Fluxus). Spetta al compositore decidere dove porsi.
Notate, infine, che questa musica di Xenakis è statistica, non casuale. La casualità c’è, ma si annulla nella molteplicità degli eventi.
Ecco il video. Volendo potete anche andare a vederlo su YouTube che vi permette anche di ingrandirlo a tutto schermo.
E per darvi modo di ascoltarli meglio, ecco un isolamento dei famosi glissandi le cui trame riproducono la struttura delle superfici del padiglione Philips progettato da Le Corbusier con l’assistenza di Xenakis nel 1958 per l’esecuzione del Poème Électronique di Edgar Varèse (immagini qui e qui).
Tanto per fare un confronto al volo, ecco il procedimento di cui al post precedente con la serie di partenza basata su π, φ ed e.
Le altezze sono comprese fra C3 e C5 mentre le durate vanno da semicroma a minima.
La trasposizione diretta della matematica in musica, di solito produce dei risultati abbastanza banali. C’è però qualche eccezione. Una è questa.
Si calcolano le prime n (poniamo 100) cifre di un numero trascendente, uno di quei numeri non riducibili a frazione che hanno infinite cifre dopo la virgola, come π (pi-greco), φ (phi, la sezione aurea) o e (la base dei logaritmi naturali).
In questo caso, usiamo la sezione aurea φ (phi). Il risultato è
1.61803398874989484820458683436563811772030917980576
286213544862270526046281890244970720720418939113748
Si prendono le cifre così come sono, senza badare al punto decimale, cioè
1,6,1,8,0,3,3,9,8,8,7,4,9,8,9,4,8,4,8,2,0,4,5,8,6,8,3,4,3,6,5, … etc.
Questa sarà la nostra base per produrre altezze e durate. L’idea è che la generazione delle cifre decimali in questi numeri non è del tutto casuale. Infatti le cifre non hanno la stessa distribuzione, ma soprattutto la serie è ricca di ripetizioni, configurazioni ripetute, etc.
Per ottenere le altezze, trasformiamo le nostre cifre in note con una codifica. Poniamo 1 = LA basso del piano e saliamo per semitoni. Quindi il DO più basso sarà 4 e poi, per ottave, gli altri DO saranno 16, 28, 40, 52, 64, 76, 88.
Ora, riscaliamo l’intera serie, che va da 0 a 9, in modo che il minimo (0) corrisponda a 40 (C3) e il massimo (9) a 64 (C5). Otteniamo seguente serie di note:
42,56,42,61,40,48,48,64,61,61,58,50,64,61,64,50,61,50,61,45,40, … etc
In generale, risulta che
0 = 40 = C3
1 = 42 = D3
2 = 45 = F3
3 = 48 = G#3
4 = 50 = A#3
5 = 53 = C#4
6 = 56 = E4
7 = 58 = F#4
8 = 61 = A4
9 = 64 = C5
Naturalmente avremmo potuto usare anche un altro intervallo, più o meno ampio di 2 ottave ottenendo risultati diversi.
Ora piazziamo le durate. Decidiamo che
0 = semicroma
1 = croma
2 = semiminima
3 = minima
e riscaliamo la serie numerica come sopra, ma restringendola fra 0 e 3 senza decimali. Ne consegue che
0, 1, 2 = 0 = semicroma
3, 4, 5 = 1 = croma
6, 7, 8 = 2 = semiminima
9 = 3 = minima
ottenendo la serie seguente: 0,2,0,2,0,1,1,3,2,2,2,1,3,2,3,1,2,1,2, … etc.
In questo esempio usiamo sempre durate canoniche (non irregolari) per non avere difficoltà di scrittura. Niente però impedisce di usare anche durate irregolari, affrontando qualche problema di scrittura. P.es, usando anche la durata di una croma terzinata, potreste trovarvi una successione come: semiminima – croma terzinata – semiminima e voglio vedere come lo scrivete. Oddio, in tanti brani contemporanei si fa anche di peggio, ma in questo esempio stiamo sul semplice.
Bene. A questo punto abbiamo una serie di altezze e una di durate di pari lunghezza. Decidiamo un metronomo e suoniamo. Ecco il risultato finale. Simpatico, nervosetto, un po’ alla Xenakis anche se meno complesso.
Al lettore attento non sarà sfuggita una particolarità. Usando la stessa serie di partenza per altezze e durate, la durata aumenta via via che le altezze si alzano. Per evitarlo, basta retrogradare una delle due serie risultanti. In questo esempio abbiamo retrogradato le durate.
Cambiando l’estensione, poi i risultati sono diversi. Qui le altezze sono riscalate fra 4 e 64 usando buona parte dell’estensione del piano e rendendolo praticamente insuonabile da un umano a questa velocità.
Ecco infine una sovrapposizione di quest’ultimo frammento (1-64) e del precedente (40-64 con durate in retrogrado)
Spero che abbiate un font greco altrimenti non vedrete mai tutto il titolo.
Il 14 marzo era il π-Day (Pi greco day). Questo perché gli anglosassoni scrivono prima il mese, poi il giorno e quindi esce 3.14.
Generalmente si celebra alle 1.59 p.m. perché π fa 3.14159.
Incidentalmente era anche il compleanno di Albert Einstein.
È un po’ buffo taggare questo post con Scienza, comunque… in questa pagina trovate pi-greco con 4 milioni di decimali.
Spero che abbiate un font greco altrimenti non vedrete mai tutto il titolo.